[注：下文是群邮件的内容，标题出自内文。]

木马传说~

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伽罗瓦引入的 Aa + Bb + Cc + ... ( 记作 t ) 可以看成 特洛伊木马。恰好，t 是 Trojan Horse 的首字母。(字母 t 是 Edwards 引入的，但不清楚他是否有前述观点)。

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引入 t，使得 f(x) 的根发生了某种 “下沉” 效应：r = φr(t) —— 根 r 成了 t 的函数。特别地，f(x) 换个写法：f(φr(X))，使得 t 成了根，这比原来的根 r “下沉”了。这似乎暗示了一种 “哲学”：为了把问题 “连根拔起”，就要深入到比根更深的地方。

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回到第一段。伽罗瓦造出更多木马 t, t', t'', ... 又给它们加上了 “壳”φr(t), φr(t'), φr(t''), ... 俨然组成一列纵队！现在它们可以进城了：f(φr(X)) ... 嘣 嘣嘣 嘣嘣 嘣嘣嘣 ... 壳裂开了... 变出了伽罗瓦群 ... 哗...

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a(♘)   b(♘)   c(♘) ...

a(♘)   b(♘)   c(♘) ...

a(♘)   b(♘)   c(♘) ... 

...

伽罗瓦群：带壳的木马纵队 (♘:= t, ♘:= t', ♘:= t'', ...)

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命题1：Ψt ∈ K <==> Ψt = Ψt' = Ψt'' = ...。

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此命题考察：依次用φ-阵列 的各行替换 n 元多项式 Ψ(U, V, W, ...) 中的变量之效应。此处 K 也称作 已知量 的集合。

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通俗来讲，多项式也是一种函数，我把它看作 “城堡”(♖:= Ψ)。现在，带壳木马进城了：♖(a(♘) , b(♘), c(♘), ...) ，第一队进城；♖(a(♘) , b(♘), c(♘), ...) ，第二队进城；♖(a(♘) , b(♘), c(♘), ...) ，第三队进城；等等。

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按照之前的论证，一个“木马” 对应着诸根的一个排列 (此排列就是木马的“编码”)，从而对应着一个置换。可以认为，木马是含而不宣的自同构置换。这是一个有意思的地方。

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接着前一段。进城以后的各队简记为：♖♘,  ♖♘,  ♖♘, ... 。它们呀，只不过是一些函数值：Ψt, Ψt', Ψt'', ... 。命题1说，Ψt 是 “已知量” 当且仅当 这些函数值全都相等。现在解释后半句——

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眼睛盯着 Ψt ，把 t 依次替换为 t', t'', ...上面后半句是说：(在这个过程中) 函数值保持不变。进一步，由于每个 t 相当于 (含而不宣的) 自同构置换，这就意味着：函数值在这些置换下不变。

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评论：更准确地说，t, t', t'', ... 是相应的自同构置换的 “表述” (presentation)。顺带，上图的“伽罗瓦群” 也是 “表述” 意义上的群。注：Edwards 的书里强调了后者。

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命题1的证明 (见下文数字指示)

前文的证明里显示出两个技术(H.E. p.52)：

---- 一是将函数值*还原为(自变量“下沉”的)函数；(把木马替换为 X)

---- 二是向该函数传输 G(X) 的根。(传输其它木马到该函数)

星号注：此处的函数值是 “木马进城” 后得到的。

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